Докажите неравенство x^{2} −2x^{3}< 1/6 на луче [1/4; + ∞).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного неравенства рассмотрим функцию f(x) = 1/6 - x^2 + 2x^3 и найдем ее производную:

f'(x) = -2x + 6x^2

Найдем точку экстремума, приравняв производную к нулю:

-2x + 6x^2 = 0
2x(3x-1) = 0
x = 0 или x = 1/3

Подставим найденные точки в исходное неравенство:

1) При x = 0:
f(0) = 1/6 - 0 + 0 < 1/6

2) При x = 1/3:
f(1/3) = 1/6 - (1/3)^2 + 2*(1/3)^3 = 1/6 - 1/9 + 2/27 = 1/6 - 1/9 + 2/27 = 1/6 - 1/9 + 2/27 = 1/6 - 1/9 + 2/27 = 1/6 + 2/27 < 1/6

Таким образом, для x из луча [1/4; + ∞) выполняется неравенство x^2 − 2x^3 < 1/6.