Докажите что функция y=x^2-3/x-1 возрастает на любом промежутке области определения

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства возрастания функции на любом промежутке области определения можно воспользоваться производной функции.

Сначала найдем производную функции y = x^2 - 3 / (x - 1) с помощью правила дифференцирования сложной функции:

y' = ((2x)(x - 1) - (x^2 - 3)(1)) / (x - 1)^2
y' = (2x^2 - 2x - x^2 + 3) / (x - 1)^2
y' = (x^2 - 2x + 3) / (x - 1)^2

Теперь проанализируем знак производной на промежутке области определения функции.

Найдем нули производной:
x^2 - 2x + 3 = 0
D = (-2)^2 - 413 = 4 - 12 = -8
D < 0, значит, уравнение не имеет действительных корней, следовательно, нули производной отсутствуют.

Исследуем производную второго порядка:
y'' = (2x - 2)(x - 1)^2 - (2(x^2 - 2x + 3)(x - 1)*(1)) / (x - 1)^4
y'' = (2x^3 - 4x^2 + 6x - 2(x^3 - 2x^2 + 3x - x^2 + 2x - 3)) / (x - 1)^4
y'' = (2x^3 - 4x^2 + 6x - 2x^3 + 4x^2 - 6x + 2x^2 - 4x + 6) / (x - 1)^4
y'' = 2 / (x - 1)^4 > 0

Так как производная второго порядка положительна на всей области определения функции, это означает, что функция y = x^2 - 3 / (x - 1) возрастает на всей своей области определения.