Докажите, что значение выражения при любых a и b является неотрицательным числом (a+b)^2 - 2( a+b-1)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Решение:

Выражение (a+b)^2 - 2(a+b-1) можно раскрыть и упростить:

(a+b)^2 - 2(a+b-1) = a^2 + 2ab + b^2 - 2a - 2b + 2

Теперь найдем минимальное значение этого выражения. Для начала преобразуем его:

a^2 + 2ab + b^2 - 2a - 2b + 2 = (a^2 - 2a + 1) + 2ab + (b^2 - 2b + 1) - 1

Далее, это равносильно следующему выражению:

(a - 1)^2 + 2ab + (b - 1)^2 - 1

Каждое из квадратов в последнем выражении равно или больше 0, так как это квадраты, и -1 также больше 0. Следовательно, минимальное значение, которое может принять данное выражение, равно 0. Таким образом, значение выражения (a+b)^2 - 2(a+b-1) при любых a и b неотрицательно.