Докажите тождество( a-b/a^2+ab-a/ab+b^2):(1/a+b-b^2/ab^2-a^3)=b-a/b

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала упростим выражение в левой части:

(a-b)/(a^2 + ab - a/(ab + b^2)) : (1/(a + b) - b^2/(ab^2 - a^3)) = (a - b)/(a^2 + ab - a/(ab + b^2)) ((ab + b^2 - a)/(ab^2 - a^3 - b^2(a + b))) = (a - b)/(a^2 + ab - a/(ab + b^2)) ((ab + b^2 - a)/(ab^2 - a^3 - b^2a - b^3))

Теперь упростим:

(a - b)/(a^2 + ab - a/(ab + b^2)) ((ab + b^2 - a)/(ab^2 - a^3 - b^2a - b^3)) = (a - b)/(a^2 + ab - a/(ab + b^2)) (ab + b^2 - a)/(ab^2 - a^3 - b^2a - b^3) = (a - b)/((ab + b^2)(a - 1)/(ab + b^2)) (ab + b^2 - a)/(ab^2 - a^3 - b^2a - b^3) = (a - b)/(a - 1) (ab + b^2 - a)/(ab^2 - a^3 - b^2a - b^3) = (a - b)/(a - 1) * (b(a - 1))/(a^2(a - 1) - b^3)

Раскроем скобки:

(a - b)/(a - 1) (b(a - 1))/(a^2(a - 1) - b^3) = (a - b)(b(a - 1))/((a - 1)(a^2 - b^3)) = (a - b)b/(a^2 - b^3)

Теперь рассмотрим правую часть тождества:

b - a/b

Сравним полученные выражения:

(a - b)*b/(a^2 - b^3) = b - a/b

Таким образом, доказано тождество (a-b/a^2+ab-a/ab+b^2):(1/a+b-b^2/ab^2-a^3)=b-a/b.