Для доказательства данного тождества воспользуемся формулой:

sin^2(a) + cos^2(a) = 1

Возводим обе части этой формулы в 3 степень:

(sin^2(a) + cos^2(a))^3 = 1^3
sin^6(a) + 3sin^4(a)cos^2(a) + 3sin^2(a)cos^4(a) + cos^6(a) = 1

Теперь выразим sin^6(a) и cos^6(a) через третью степень при помощи следующих формул:

sin^6(a) = (sin^2(a))^3 = sin^2(a) sin^4(a)
cos^6(a) = (cos^2(a))^3 = cos^2(a) cos^4(a)

Подставим полученные выражения в уравнение:

sin^2(a) sin^4(a) + 3sin^4(a)cos^2(a) + 3sin^2(a)cos^4(a) + cos^2(a) cos^4(a) = 1
(sin^2(a) sin^4(a) + cos^2(a) cos^4(a)) + 3sin^2(a)cos^2(a) * (sin^2(a) + cos^2(a)) = 1
sin^6(a) + cos^6(a) + 3sin^2(a)cos^2(a) = 1

Таким образом, тождество sin^6(a) + cos^6(a) + 3sin^2(a)cos^2(a) = 1 доказано.