Для начала найдем корни уравнения а^2 + а + 1 = 0.

Используем квадратное уравнение:

D = a^2 - 4a1 = 1 - 4 = -3

Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней, но имеет комплексные корни.

Корни уравнения могут быть найдены по формуле:

a1 = (-1 + sqrt(3)i) / 2
a2 = (-1 - sqrt(3)i) / 2

Теперь найдем значение a^2019:

a^2019 = ((-1 + sqrt(3)i) / 2)^2019
a^2019 = (-1/2 + sqrt(3)i/2)^2019

Так как комплексное число вида (-1/2 + sqrt(3)i/2) представляется в виде e^(iφ), то a^2019 = e^(iφ*2019)

Теперь найдем значение 1/a^2019:

1/a^2019 = 1 / (e^(iφ2019)) = e^(-iφ2019)

Таким образом, a^2019 + 1/a^2019 = e^(iφ2019) + e^(-iφ2019)

Решение данной задачи становится сложнее из-за комплексных чисел и формул Эйлера.