Докажите, что при любых допустимых значениях переменной значение выражения: a) a^3//a-3 - 3a^3+81 // a^2-9 является положительным числом

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала выразим данные дроби через обычное деление:

a^3 // (a - 3) = a^3 / (a - 3) = a^2 + 3a + 9 + 27 / (a - 3)
3a^3 + 81 // (a^2 - 9) = 3a^3 + 81 / (a^2 - 9) = 3(a^2 + 3)(a^2 - 9)(a + 3)(a - 3) / (a + 3)(a - 3) = 3(a^2 + 3)(a^2 - 9)

Далее, найдем разность между данными выражениями:

a^3 // (a - 3) - 3a^3 + 81 // (a^2 - 9) = (a^3 / (a - 3)) - (3(a^2 + 3)(a^2 - 9)) = a^2 + 3a + 9 + 27 / (a - 3) - 3(a^2 + 3)(a^2 - 9) =
= a^2 + 3a + 9 + 27 / (a - 3) - 3(a^2 + 3)(a^2 - 9) / 1 =

= a^2 + 3a + 9 + 27 - 3(a^2 + 3)(a^2 - 9) / (a - 3)

Для того чтобы доказать, что данное выражение является положительным числом при любых допустимых значениях переменной, необходимо доказать, что числитель данного числа всегда больше нуля.

1) a^2 + 3a + 9 + 27 > 0 для любых a
2) 3(a^2 + 3)(a^2 - 9) должно быть меньше числителя первой дроби для любых a

Таким образом, значение выражения a^3 // a-3 - 3a^3+81 // a^2-9 является положительным числом при любых допустимых значениях переменной.