На доске написали 10 натуральных чисел. Если отметить любые три из написанных чисел, то сумма всех трёх будет делиться на два числа из этой тройки. Докажите, что среди написанных чисел есть равные.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Предположим, что среди написанных чисел нет равных. Обозначим эти числа как a₁, a₂, ..., a₁₀.

Так как сумма любых трех чисел делится на два числа из этой тройки, то можно записать следующие уравнения:
a₁ + a₂ + a₃ = a₄ + a₅
a₁ + a₂ + a₄ = a₆ + a₇
...
a₈ + a₉ + a₁₀ = a₁ + a₂

Проанализируем эти уравнения. Сложим все уравнения друг с другом:
2(a₁ + ... + a₁₀) = 10(a₁ + ... + a₁₀)

Делим обе части уравнения на 2:
a₁ + ... + a₁₀ = 5(a₁ + ... + a₁₀)

Получили, что сумма всех чисел равна 5 умножить на эту сумму. Однако, это возможно только в случае, если все числа равны. Противоречие с нашим предположением, значит, среди написанных чисел есть равные.