Сумма двух положительных чисел равна 160. Найдите эти числа, если сумма их кубов имеет наименьшее значение.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте обозначим эти два числа как x и 160 - x.
Тогда нужно минимизировать выражение x^3 + (160 - x)^3.

Распишем это выражение:
x^3 + (160 - x)^3 = x^3 + 160^3 - 3160x^2 + 3160^2x - x^3 = 160^3 - 3160x(x^2 - 160).

Для минимизации данного выражения, нужно найти значение x, при котором x(x^2 - 160) принимает минимальное значение. Сначала найдем значение x:
x(x^2 - 160) = x^3 - 160x.

Дифференцируем это выражение и приравниваем его к нулю для нахождения экстремума:
d/dx (x^3 - 160x) = 3x^2 - 160 = 0
3x^2 = 160
x^2 = 160/3
x = ±4√15

Таким образом, два положительных числа равны 4√15 и 160 - 4√15.