Даны n гирь, веса которых равны 1,2,…,n. Даны n гирь, веса которых равны 1,2,…,n. Их разделили на две группы так, что в каждой группе оказалось больше одной гири. Докажите, что можно положить на одну чашу весов несколько гирь из первой группы, а на другую чашу − несколько гирь из второй группы так, чтобы весы оказались в равновесии.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть первая группа содержит гири с весами a_1 < a_2 < ... < a_k, а вторая группа содержит гири с весами b_1 < b_2 < ... < b_l.

Если k = l, то мы можем положить на одну чашу все гири из первой группы, а на другую все гири из второй группы.

Если k < l, то положим на одну чашу гири a_2, a_3, ..., a_k, а на другую гири a_1 и b_1. Весы будут в равновесии, так как (a_2 + a_3 + ... + a_k) = (a_1 + b_1).

Если k > l, то аналогично полагаем на одну чашу гири b_2, b_3, ..., b_l, а на другую гири b_1 и a_1. Таким образом, мы снова получаем равновесие весов.

Таким образом, мы доказали, что всегда можно выбрать соответствующие гири из обеих групп так, чтобы весы оказались в равновесии.