Для последовательности, заданной формулой n-го члена, докажите формулу суммы ее n первых членов:
а) Sn=n(5n+1)/2, eсли an=5n-2;
б) Sn=2n(10-n), eсли bn=22-4n.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а)
Для начала найдем явную формулу для членов последовательности:
an = 5n - 2

Теперь найдем явную формулу для суммы первых n членов:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an
Sn = (51 - 2) + (52 - 2) + (53 - 2) + ... + (5n - 2)
Sn = 5(1 + 2 + 3 + ... + n) - 2n
Sn = 5(n*(n+1)/2) - 2n
Sn = 5n^2/2 + 5n/2 - 2n
Sn = n(5n + 1)/2

Формула для суммы первых n членов доказана.

б)
Для начала найдем явную формулу для членов последовательности:
bn = 22 - 4n

Теперь найдем явную формулу для суммы первых n членов:
Sn = b1 + b2 + b3 + ... + bn
Sn = (22 - 41) + (22 - 42) + (22 - 43) + ... + (22 - 4n)
Sn = (22 + 22 + 22 + ... + 22) - 4(1 + 2 + 3 + ... + n)
Sn = 22n - 4(n*(n+1)/2)
Sn = 22n - 2n^2 - 2n
Sn = n(2n - 2) = 2n(10-n)

Формула для суммы первых n членов доказана.