Вычислите х^2+у^2,если: ху=1,х+у=12

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия у нас дано, что ху = 1 и х + у = 12.

Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки или методом выражения одной переменной через другую.

Решим их методом выражения одной переменной через другую:

Из второго уравнения выразим одну переменную через другую:
х = 12 - у

Подставим это выражение в первое уравнение:
(12 - у) * у = 1
12у - у^2 = 1
y^2 - 12y + 1 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:
D = (-12)^2 - 411 = 144 - 4 = 140

y1 = (12 + sqrt(140)) / 2 = (12 + 2sqrt(35)) / 2 = 6 + sqrt(35)
y2 = (12 - sqrt(140)) / 2 = (12 - 2sqrt(35)) / 2 = 6 - sqrt(35)

Теперь найдем соответствующие значения x:
x1 = 12 - y1 = 12 - (6 + sqrt(35)) = 6 - sqrt(35)
x2 = 12 - y2 = 12 - (6 - sqrt(35)) = 6 + sqrt(35)

Теперь вычислим x^2 + y^2 для каждой пары значений:

(6 - sqrt(35))^2 + (6 + sqrt(35))^2 = 36 - 12sqrt(35) + 35 + 36 + 12sqrt(35) + 35 = 72 + 70 = 142(6 + sqrt(35))^2 + (6 - sqrt(35))^2 = 36 + 12sqrt(35) + 35 + 36 - 12sqrt(35) + 35 = 72 + 70 = 142

Получается, что x^2 + у^2 = 142 в обоих случаях.