Для нахождения производной данной функции y=ctg(5x)+(5x)^4/sinx воспользуемся правилами дифференцирования элементарных функций.

Найдем производную первого слагаемого y=ctg(5x):

Производная ctg(5x) равна -csc^2(5x) производная аргумента (5x)' = -csc^2(5x) 5 = -5csc^2(5x).

Найдем производную второго слагаемого y=(5x)^4/sinx:

Применим правило дифференцирования частного для нахождения производной:

Производная числителя (5x)^4 равна 4(5x)^(4-1) = 20x^3.
Производная знаменателя sinx равна cosx.
Тогда производная второго слагаемого равна (20x^3 sinx - (5x)^4 cosx)/(sinx)^2.

Теперь сложим обе производные:

y' = -5csc^2(5x) + (20x^3 sinx - (5x)^4 cosx)/(sinx)^2.

Это и будет искомая производная функции y=ctg(5x) + (5x)^4/sinx.