Некоторое натуральное число при делении на 5 дает в остатке 1, а другое число при делении на 5 дает в остатке 2. Докажите, что сумма квадратов этих чисел делится на 5

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть первое число равно a, а второе число равно b.

Тогда мы можем записать:
a ≡ 1 (mod 5)
b ≡ 2 (mod 5)

Таким образом, a = 5k + 1 и b = 5m + 2 для некоторых целых k и m.

Сумма квадратов этих чисел:
a^2 + b^2 = (5k + 1)^2 + (5m + 2)^2
= 25k^2 + 10k + 1 + 25m^2 + 20m + 4
= 25(k^2 + m^2) + 10(k + m) + 5

Так как k^2 + m^2 и k + m - это целые числа, то сумма квадратов a^2 + b^2 делится на 5.