Методом математической индукции докажите, что при четном n€ N: 1)15 в степени n+7*7в степени n делится на 8 2) 7в степени n-5 в степени n делится на 24 3) 5 в степени n-3в степени n делится на 16 3)5 в степени

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

n+1 + 3 в степени n делится на 8

Докажем первое утверждение по методу математической индукции.

1) База индукции: при n=2 выполняется равенство 15 в степени 2 + 7 в степени 2 = 244, что делится на 8.

2) Предположение индукции: пусть для некоторого четного n выполняется равенство 15 в степени n + 7 в степени n = k * 8, где k - натуральное число.

3) Шаг индукции: докажем, что при n+2 равенство также будет делиться на 8.
Для n+2 получаем:
15 в степени n+2 + 7 в степени n+2 = 15 в степени n 15 15 + 7 в степени n 7 7
= 225 15 в степени n + 49 7 в степени n
= 8 28 15 в степени n + 49 7 в степени n
= 8 (28 15 в степени n + 49 7 в степени n) = 8 (28 15 в степени n + 2 49 7 в степени n)

Поскольку из предположения индукции 15 в степени n + 7 в степени n делится на 8, то и выражение 8 (28 15 в степени n + 2 49 7 в степени n) также будет делиться на 8.

Таким образом, при любом четном n выполняется равенство 15 в степени n + 7 в степени n делится на 8.

Аналогично можно доказать остальные пункты задачи.