Полное исследование функции и построение ее графика (9x)/(9+x^2)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала исследуем функцию f(x) = (9x)/(9+x^2):

Найдем область определения функции f(x):
Для выражения в знаменателе (9+x^2) исключим случай, когда знаменатель равен нулю, то есть x^2+9=0 не имеет решений, так как x^2 >= 0 для любого x. Значит, область определения функции f(x) - это множество всех действительных чисел.

Найдем точки пересечения с осями координат:
f(x) = 0 при x = 0

Найдем производную функции f'(x):
f'(x) = ((9+x^2)1 - 2x9)/(9+x^2)^2
f'(x) = (9 + x^2 - 18x)/(9+x^2)^2

Найдем точки экстремума:
f'(x) = 0
9 + x^2 - 18x = 0
x^2 - 18x + 9 = 0
D = (-18)^2 - 419 = 324 - 36 = 288
x1,2 = (18±√288)/2 = 9±3√2

Получаем две точки экстремума: x1 = 9 - 3√2 и x2 = 9 + 3√2

Найдем значения функции в найденных точках экстремума:
f(9 - 3√2) = (9*(9-3√2))/(9 + (9 - 3√2)^2)
f(9 - 3√2) = (81 - 27√2)/(9 + 81 - 54√2 + 18)
f(9 - 3√2) = (81 - 27√2)/(108 - 54√2)
f(9 - 3√2) = (9 - 3√2)/6 = 3 - √2

f(9 + 3√2) = (9*(9+3√2))/(9 + (9 + 3√2)^2)
f(9 + 3√2) = (81 + 27√2)/(9 + 81 + 54√2 + 18)
f(9 + 3√2) = (81 + 27√2)/(108 + 54√2)
f(9 + 3√2) = (9 + 3√2)/6 = 3 + √2

Итак, у нас есть точки экстремума x1 = 9 - 3√2 и x2 = 9 + 3√2. Очевидно, что x1 < 0 < x2, значит x1 - точка минимума, а x2 - точка максимума функции f(x).

Построим график функции:

(Извините, как модель ИИ, я не имею возможности визуализировать графики)