При каких значениях а один из корней уравнения 4х^2-15х+4а=0 равен квадрату другого? В ответ записать наибольшее из значений а, умноженное на 8.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы один из корней уравнения был квадратом другого, должно быть выполнено условие дискриминанта D>=0 и дополнительное условие, что один корень равен другому в квадрате.

Уравнение имеет вид 4x^2-15x+4a=0. Дискриминант этого уравнения равен D=(15)^2-44а=225-16a.

Дискриминант должен быть неотрицательным, поэтому 225-16a>=0 => a<=225/16.

Также корни уравнения должны взаимно соответствовать условию один равен квадрату другого. Пусть один корень равен p, тогда другой корень будет p^2. Вспомним формулу для суммы корней квадратного уравнения, где p и p^2 - корни уравнения. Пусть p=(15/8)x, тогда p^2=(225/64)x^2.

Учитывая формулу и условие p+p^2=15/8, можно записать:
15/8=(15/8)x+(225/64)x^2

Преобразуем уравнение и найдем x:
15/8=(15/8)x+(225/64)x^2
15/8=(15/8)x[(1 + 15/8x)]
x[(1 + 15/8x)]=1
x=1/[1+15/8x]=8/(8+15x)=8/(8+(15/8)x)
8/(8+(15/8)*x)=8
75x=0
x=0

Таким образом, значение x=0.

Анализируем допустимые значения а при х=0:
40^2-150+4a=0
4a=0 => a=0

Таким образом, при заданных значениях a=0. Подставляем его в условие наибольшего значения а, умноженного на 8:

a=0, значит a=0*8=0.

Ответ: 0.