В сегмент круга радиуса R, ограниченный дугой в 90° и стягивающей ее хордой, вписана наибольшая окружность. Найдите ее радиус

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть x будет радиусом вписанной окружности. Тогда, по теореме Пифагора, радиус R представляется в виде R = x + x√2. Так как угол сегмента круга равен 90°, а угол, образуемый радиусами вписанной окружности и касательной к дуге, равен 90°, то вписанная окружность касается хорды. Теперь мы можем записать:
2x + 2x√2 = R
2x(1 + √2) = x + x√2
2(1 + √2) = 1 + √2
2 + 2√2 = 1 + √2
1 + √2 = 2√2
√2 + 1 = 2
√2 = 1
Таким образом, радиус вписанной окружности равен x = R/(1 + √2) = R/(1 + 1) = R/2.