Докажите, что при всех допустимых значениях α верно равенство: (sin α+cos α]²+(sin α-cos α) = 2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Рассмотрим левую часть уравнения и преобразуем ее:

(sin α + cos α)² + (sin α - cos α)

= sin²α + 2sinαcosα + cos²α + sinα - cosα
= sin²α + cos²α + 2sinαcosα + sinα - cosα
= 1 + 2sinαcosα + sinα - cosα

Поскольку sinα + cosα = √2sin(π/4 + α), то sinα = √2 * sin((π/4) + α), cosα = sin((π/4) - α). Тогда:

(sin α + cos α)² + (sin α - cos α)
= 1 + 2 √2 sin((π/4) + α) sin((π/4) - α) + sin((π/4) + α) - sin((π/4) - α)
= 1 + 2 √2 * sin(π/2) + sin(2π/4) - sin(0)
= 1 + 0 + 1 - 0
= 2

Таким образом, при всех допустимых значениях α верно равенство (sin α + cos α)² + (sin α - cos α) = 2.