Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба функции F(x)=x^4 - 2x^3 - 12x^2 + 24x + 8

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем производные функции F(x):

F'(x) = 4x^3 - 6x^2 - 24x + 24
F''(x) = 12x^2 - 12x - 24

Точки перегиба функции находятся при равенстве нулю второй производной F''(x), т.е.:

12x^2 - 12x - 24 = 0

Далее найдем корни этого уравнения:

12x^2 - 12x - 24 = 12(x^2 - x - 2) = 12(x - 2)(x + 1) = 0

Отсюда x1 = 2, x2 = -1

Теперь найдем значения второй производной в этих точках:

F''(2) = 122^2 - 122 - 24 = 24 - 24 - 24 = -24
F''(-1) = 12(-1)^2 - 12(-1) - 24 = 12 + 12 - 24 = 0

Таким образом, точка перегиба функции находится в точке (2, F(2)) = (2, 16).

Теперь найдем промежутки выпуклости функции. Для этого рассмотрим значения второй производной F''(x) на каждом промежутке между точками перегиба (-бесконечность, -1),(-1, 2),(2, +бесконечность):

Для x < -1: F''(x) < 0, значит функция F(x) выпукла в этом промежутке.Для -1 < x < 2: F''(x) > 0, значит функция F(x) вогнута в этом промежутке.Для x > 2: F''(x) < 0, значит функция F(x) выпукла в этом промежутке.

Таким образом, промежутки выпуклости функции F(x) - (-бесконечность, -1) и (2, +бесконечность).