Известно, что 6tgt-ctgt=1 и t∈(0; π/2). Найдите значение выражения sint-cost.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано:
6tgt - ctgt = 1

Перепишем это выражение в следующем виде:
6tan(t) - cot(t) = 1

Заметим, что tan(t) = sin(t)/cos(t) и cot(t) = 1/tan(t) = cos(t)/sin(t), поэтому исходное уравнение можно переписать в виде:
6(sin(t)/cos(t)) - (cos(t)/sin(t)) = 1
(6sin(t) - cos(t))/cos(t)sin(t) = 1

Умножим обе части на cos(t)sin(t):
6sin(t) - cos(t) = cos(t)sin(t)

Рассмотрим выражение sin(t) - cos(t):
(sin(t) - cos(t))^2 = sin^2(t) - 2sin(t)cos(t) + cos^2(t) = 1 - sin(2t)

Теперь подставим в исходное уравнение:
6(sin(t) - cos(t)) = sin(2t)
6 - 6cos(t) = sin(2t)

Теперь рассмотрим выражение sin(t) + cos(t):
(sin(t) + cos(t))^2 = sin^2(t) + 2sin(t)cos(t) + cos^2(t) = 1 + sin(2t)

Подставляем в исходное уравнение:
6(sin(t) + cos(t)) = 1 + sin(2t)
6 + 6cos(t) = 1 + sin(2t)

Сложим два уравнения:
12 = 1 + sin(2t) + 1 + sin(2t)
12 = 2 + 2sin(2t)
10 = 2sin(2t)
5 = sin(2t)

Теперь найдем значение выражения sin(t) - cos(t):
sin(t) - cos(t) = √(2)sin(π/4) - √(2)cos(π/4) = 0

Ответ: значение выражения sin(t) - cos(t) равно 0.