Сумма четырнадцатого и второго членов геометрической прогрессии равна 16, а сумма их квадратов равна 200

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть первый член прогрессии равен (a), а знаменатель прогрессии равен (q).

Тогда члены прогрессии будут равны:
[ a, ar, ar^2, ar^3, ...]
[ a, ar^1, ar^2, ar^3, ...]

Из условия:
[ a + ar = 16 ]
[ a^2 + a^2r^2 = 200 ]

Решаем систему уравнений:
[ a + ar = 16 ]
[ a (1 + r) = 16 ]
[ a = \frac{16}{1+r} ]

Подставляем ( a = \frac{16}{1+r} ) во второе уравнение:
[ (\frac{16}{1+r})^2 + (\frac{16}{1+r})^2r^2 = 200 ]
[ \frac{256}{(1+r)^2} + \frac{256r^2}{(1+r)^2} = 200 ]
[ 256 + 256r^2 = 200(1+r)^2 ]
[ 256 + 256r^2 = 200(1+2r+r^2) ]
[ 256 + 256r^2 = 200 + 400r + 200r^2 ]
[ 56r^2 - 200r + 56 = 0 ]
[ r^2 - 3.57r + 1 = 0 ]

Решаем квадратное уравнение используя дискриминант:
[ D = (-3.57)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 ]
[ D = 12.79 - 4 ]
[ D = 8.79 ]

[ r_{1,2} = \frac{3.57 \pm \sqrt{8.79}}{2} ]

Ответ: ( r{1} \approx 2.55, r{2} \approx 1.02 )