В треугольнике АВС АС=ВС АН высота тангенс ВАС = 2.Найдите тангенс ВАН?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим угол ВАС как α. Так как тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету, то тангенс угла α равен AC / BC = 2.

Также из треугольника ВАС, используя теорему Пифагора, получаем:
BV² + VC² = BC²
BV² + (VN + NC)² = BC²
BV² + (AN / cos α)² = BC²
BV² + (AN / cos α)² = BC²

Так как AN = AC = 2 * BC, то:
BN = BC - BC = BC

Таким образом, BAN - прямоугольный треугольник, и по теореме Пифагора:
BV² + AN² = BA²
BV² + 4 BC² / cos² α = BA²
BV² + 4 BN² / cos² α = BA²
BV² + 4 * BC² / cos² α = BA²

Так как тангенс угла α равен 2, то cos α = 1 / sqrt(1 + tan² α) = 1 / sqrt(1 + 4) = 1 / sqrt(5)

Таким образом, BV² + 4 BC² / (1 / sqrt(5))² = BA²
BV² + 4 BC² / 5 = BA²
BV² + 4 BN² = BA²
BV² + 4 BC² = BA²

Но мы знаем, что тангенс угла α равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету, то есть tan α = 2 = AC / BC. Отсюда BC = AC / 2 = 2 * BC / 2 = BC

Подставляем BC = 2 BC в уравнение:
BV² + 4 (2 BV)² = BA²
BV² + 16 BV² = BA²
17 * BV² = BA².

Теперь найдем тангенс угла ВАН. Из прямоугольного треугольника ВАН имеем:
tan ВАН = AN / BN
tan ВАН = AC / VC
tan ВАН = 2 / (BV * cos α)

Из треугольника BAC получаем:
BC² + AC² = AB²
BC² + 4 BC² = AB²
5 BC² = AB²
BC = AB / sqrt(5)

Заметим, что в прямоугольных треугольниках ВАС и ВАН углы у общией стороны сонаправлены, значит, BV является общим катетом. Следовательно, катеты ВАС и ВАН пропорциональны, то есть VN = (tan α * VC)

Теперь мы можем выразить VN через BC:
VN = VC tan α = BC tan α = 2 * BC

И теперь можем выразить tan ВАН через BC и BN:
tan ВАН = 2 / (BV cos α)
tan ВАН = 2 / (2 BC cos α)
tan ВАН = 2 / (2 BC 1 / sqrt(5))
tan ВАН = 1 / (BC / sqrt(5))
tan ВАН = 1 / (AB / sqrt(5) tan α)
tan ВАН = 1 / (AB / sqrt(5) * 2)
tan ВАН = sqrt(5) / 2AB.

Таким образом, тангенс угла ВАН равен sqrt(5) / 2AB.