Найдите наибольшее возможное целое значение произведения PM⋅PN⋅PK, если стороны треугольника равны 9, 12 и 15. Пусть PM, PN и PK – длины перпендикуляров, опущенных на прямые, содержащие стороны треугольника, из некоторой точки P внутри треугольника. Найдите наибольшее возможное целое значение произведения PM⋅PN⋅PK, если стороны треугольника равны 9, 12 и 15.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала построим данную конфигурацию. Изобразим треугольник ABC со сторонами 9, 12 и 15 и рассмотрим точку P внутри треугольника.

Для решения данной задачи воспользуемся свойством описанного вокруг треугольника окружности. Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. Тогда PNPO=PMPO=PKPO=R^2, где R – радиус описанной окружности треугольника ABC. Таким образом, произведение PMPN*PK=R^3.

Так как треугольник ABC прямоугольный с гипотенузой 15, то его описанная окружность имеет радиус R=15/2=7.5.

Таким образом, наибольшее возможное целое значение произведения PMPNPK=7.5^3=421.875. Поскольку требуется найти наибольшее возможное целое значение, округляем это число вниз до 421.