Найти интеграл: ∫2xdx/(x²+3)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного интеграла воспользуемся методом частичного дробления.

Сначала разложим дробь на простейшие дроби:
2x / (x² + 3) = A/(x + sqrt(3)) + B/(x - sqrt(3))

Умножаем обе части равенства на знаменатель x² + 3 и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

2x = A(x - sqrt(3)) + B(x + sqrt(3))
2x = (A + B)x + sqrt(3)(A - B)

Сравниваем коэффициенты при x:
A + B = 2
A - B = 0

Таким образом, получаем:
A = B = 1

Интеграл раскладывается на два интеграла:
∫(2x)dx / (x² + 3) = ∫dx / (x + sqrt(3)) + ∫dx / (x - sqrt(3))

Каждый из этих интегралов сводится к логарифмическому:
∫dx / (x + sqrt(3)) = ln|x + sqrt(3)| + C₁
∫dx / (x - sqrt(3)) = ln|x - sqrt(3)| + C₂

Где C₁ и C₂ - произвольные постоянные интегрирования.

Таким образом, окончательный ответ:
∫(2x)dx / (x² + 3) = ln|x + sqrt(3)| + ln|x - sqrt(3)| + C, где C = C₁ + C₂