Числитель обыкновенной дроби на 1 меньше ее знаменателя.если из числителя и знаменателя вычесть один то дробь уменьшится на 1/12.найдите эту дробь.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим числитель дроби за ( x ), а знаменатель за ( y ).

Тогда имеем систему уравнений:
[
\left{
\begin{aligned}
&x = y - 1 \
&\dfrac{x - 1}{y - 1} = \dfrac{y}{12}
\end{aligned}
\right.
]

Заменим второе уравнение ( x ) на ( y - 1 ):
[
\frac{y - 2}{y - 1} = \frac{y}{12}
]

Решим это уравнение. Умножим обе части на ( y - 1 ):
[ y - 2 = \frac{y(y - 1)}{12} ]

Развернем скобку:
[ y - 2 = \frac{y^2 - y}{12} ]

Умножим обе части на 12, чтобы избавиться от дробей:
[ 12y - 24 = y^2 - y ]

Перенесем все в левую часть уравнения:
[ y^2 - 13y + 24 = 0 ]

Теперь найдем корни этого уравнения. Раскладываем полученное уравнение:
[
y_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{13^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1} = \frac{13 + \sqrt{169 - 96}}{2} = \frac{13 + \sqrt{73}}{2}
]
[
y_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{13^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1} = \frac{13 - \sqrt{73}}{2}
]

Таким образом, знаменатель ( y ) равен ( \frac{13 + \sqrt{73}}{2} ) или ( \frac{13 - \sqrt{73}}{2} ).

Подставим найденные значения для ( y ) в одно из исходных уравнений, например в ( x = y - 1 ):
[ x = \frac{13 + \sqrt{73}}{2} - 1 = \frac{11 + \sqrt{73}}{2} ]

Таким образом, общая дробь равна ( \frac{11 + \sqrt{73}}{2} : \frac{13 + \sqrt{73}}{2} ) или ( \frac{11 + \sqrt{73}}{2} : \frac{13 - \sqrt{73}}{2} ).