В арифметической прогрессии а8 составляет 1/3 а2 и а2 * а8 = 108. Сколько нужно взять членов этой прогрессии, чтобы их сумма равнялась 104??

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Используем формулу для нахождения членов арифметической прогрессии:
а8 = а1 + 7d,
а2 = а1 + d.

По условию:
а8 = 1/3а2,
а2 а8 = 108.

Заменим значения а8 и а2:
а1 + 7d = 1/3(а1 + d),
(а1 + d) (а1 + 7d) = 108.

Разберем первое уравнение:
3(а1 + 7d) = (а1 + d),
3а1 + 21d = а1 + d,
2а1 = -20d,
а1 = -10d.

Подставляем а1 = -10d во второе уравнение:
(7d - 10d)(-10d + d) = 108,
-3d * (-9d) = 108,
27d^2 = 108,
d^2 = 108 / 27,
d^2 = 4,
d = 2.

Теперь найдем а1:
а1 = -10*2,
а1 = -20.

Сумма n членов прогрессии равна:
S_n = n/2 * (2а1 + (n - 1)d) = 104.

Подставляем известные значения:
n/2 (2(-20) + (n - 1)*2) = 104,
-40n + 2n^2 - 2n = 208,
2n^2 - 42n + 208 = 0.

Находим корни уравнения:
n = (-(-42) ± √((-42)^2 - 42208))/2*2,
n = (42 ± √(1764 - 1664))/4,
n = (42 ± √100)/4,
n = (42 ± 10)/4.

Получаем два корня:
n1 = 52/4 = 13,
n2 = 32/4 = 8.

Ответ: Нужно взять 13 членов арифметической прогрессии, чтобы их сумма равнялась 104.