Решите неравенство f ʹ (х) < 0, если f (х) = х3 – 6х2 - 63х

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем производную функции f(x):
f'(x) = 3x^2 - 12x - 63

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю:
3x^2 - 12x - 63 = 0
x^2 - 4x - 21 = 0
(x - 7)(x + 3) = 0
x1 = 7, x2 = -3

Таким образом, производная равна нулю в точках x = 7 и x = -3. Теперь нам нужно определить знак производной в каждом интервале.

Проверим интервал (-бесконечность, -3):
Возьмем x = -4, подставим в производную:
3(-4)^2 - 12(-4) - 63 = 48 + 48 - 63 = 33
Таким образом, производная положительна на интервале (-бесконечность, -3).

Проверим интервал (-3, 7):
Возьмем x = 0, подставим в производную:
3(0)^2 - 12(0) - 63 = -63
Таким образом, производная отрицательна на интервале (-3, 7).

Проверим интервал (7, +бесконечность):
Возьмем x = 8, подставим в производную:
3(8)^2 - 12(8) - 63 = 192 - 96 - 63 = 33
Таким образом, производная положительна на интервале (7, +бесконечность).

Итак, мы получили, что производная f'(x) положительна на интервалах (-бесконечность, -3) и (7, +бесконечность), а отрицательна на интервале (-3, 7).
Следовательно, неравенство f'(x) < 0 выполняется на интервале (-3, 7).