Приведённый квадратный трёхчлен y=x^2+ax+b имеет два корня.Докажите что если прибавить к коэффициенту a любой из этих корней ,а из коэффициента b вычесть квадрат этого же корня, то полученный трёхчлен также будет иметь по крайней мере один корень

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть у нас есть квадратный трёхчлен y=x^2+ax+b с корнями x1 и x2. Тогда мы можем записать его как y=(x-x1)(x-x2).

Теперь рассмотрим новый трёхчлен y=(x+x1)(x-x2) - x1^2 = x^2 + (x1-x2)x - x1^2.

Обозначим корень этого трёхчлена как x0. Тогда, подставив x=x0, получим:

x0^2 + (x1-x2)x0 - x1^2 = 0

Преобразуем это уравнение:

(x0-x1)(x0+x1) = x1^2

(x0-x1)(x0+x1) = (x1-x2)x1

x0-x1 = x1 - x2

x0 = 2x1 - x2

Таким образом, мы получили, что x0 = 2x1 - x2, то есть новый трёхчлен также имеет корень x0. Таким образом, если к коэффициенту a прибавить один из корней, а из коэффициента b вычесть квадрат этого корня, то новый трёхчлен также будет иметь по крайней мере один корень.