Пусть p простое число, большее 5. Докажите, что p − 4 не может быть четвертой степе- нью целого числа.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Предположим, что существует целое число k, такое что p - 4 = k^4.
Так как p - 4 = k^4, то p = k^4 + 4. Так как p - 4 больше 5 и простое, то p должно быть нечетным числом больше 5.
Заметим, что для любого целого числа k, (k^2)^2 + 1 делится нацело на 2. Это следует из того, что либо k четное и тогда k^2 тоже четное число и (k^2)^2 + 1 нечетное, либо k нечетное и тогда k^2 нечетное и (k^2)^2 + 1 четное.
Так как p = (k^2)^2 + 1, p должно делиться нацело на 2, что противоречит тому, что p - простое число. Следовательно, наше предположение неверно.
Таким образом, p - 4 не может быть четвертой степенью целого числа.