Для решения данного уравнения раскроем тангенс суммы углов:

tg5x = -tg3x

tg(5x + 3x) / (1 - tg5x*tg3x) = 0

tg8x = 0

8x = πk, где k - целое число

x = πk / 8, где k - целое число

Таким образом, общее решение уравнения tg5x + tg3x = 0:

x = πk / 8, где k - целое число.