Для возведения комплексного числа (2 + i) в 5-ю степень, сначала найдем его модуль и аргумент.
Модуль числа (2 + i) вычисляется по формуле (|z| = \sqrt{Re(z)^2 + Im(z)^2}):( |2 + i| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} ).
Аргумент числа (2 + i) можно найти, используя тангенс аргумента: ( \theta = \arctan\left(\frac{Im(z)}{Re(z)}\right) ):( \theta = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) \approx 26.57^\circ ).
Теперь, чтобы возвести число (2 + i) в 5-ю степень, используем теорему Муавра: ( (r(\cos{\theta} + i\sin{\theta}))^n = r^n(\cos{n\theta} + i\sin{n\theta}) ):( (2 + i)^5 = 5^5(\cos{5\cdot26.57} + i\sin{5\cdot26.57}) ),( (2 + i)^5 = 3125(\cos{132.85} + i\sin{132.85}) ),( (2 + i)^5 ≈ 3125(-0.606 + 0.795i) ),( (2 + i)^5 ≈ -1893.75 + 2492.5i ).
Итак, комплексное число (2 + i) в 5-й степени равно (-1893.75 + 2492.5i).
Для возведения комплексного числа (2 + i) в 5-ю степень, сначала найдем его модуль и аргумент.
Модуль числа (2 + i) вычисляется по формуле (|z| = \sqrt{Re(z)^2 + Im(z)^2}):
( |2 + i| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} ).
Аргумент числа (2 + i) можно найти, используя тангенс аргумента: ( \theta = \arctan\left(\frac{Im(z)}{Re(z)}\right) ):
( \theta = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) \approx 26.57^\circ ).
Теперь, чтобы возвести число (2 + i) в 5-ю степень, используем теорему Муавра: ( (r(\cos{\theta} + i\sin{\theta}))^n = r^n(\cos{n\theta} + i\sin{n\theta}) ):
( (2 + i)^5 = 5^5(\cos{5\cdot26.57} + i\sin{5\cdot26.57}) ),
( (2 + i)^5 = 3125(\cos{132.85} + i\sin{132.85}) ),
( (2 + i)^5 ≈ 3125(-0.606 + 0.795i) ),
( (2 + i)^5 ≈ -1893.75 + 2492.5i ).
Итак, комплексное число (2 + i) в 5-й степени равно (-1893.75 + 2492.5i).