Математический анализ задача на равномерную непрерывность Исследуйте функцию на равномерную непрерывность f(x)= |cos(x)|/x-pi/2 на промежутках на каждом из множеств а) (0 ; pi/2) б) (pi/2 ; pi) в) (0 ; pi)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Для начала рассмотрим промежуток (0 ; pi/2). Функция f(x) = |cos(x)|/(x-pi/2) определена и непрерывна на данном промежутке, за исключением точки x = pi/2, где знаменатель обращается в нуль. Так как числитель ограничен (|cos(x)| <= 1), то функция ограничена на промежутке (0 ; pi/2).

Для того чтобы исследовать равномерную непрерывность, нужно оценить разность между значениями функции на бесконечно близких точках.

Пусть x, y принадлежат промежутку (0 ; pi/2). Тогда |x - y| < pi/2. На данном промежутке функция |cos(x)| ограничена константой 1. Таким образом, |f(x) - f(y)| = ||cos(x)|/(x-pi/2) - |cos(y)|/(y-pi/2)| <= 1/|x-pi/2 - y-pi/2| = 1/|x-y|.

Таким образом, на промежутке (0 ; pi/2) функция f(x) = |cos(x)|/(x-pi/2) удовлетворяет условию равномерной непрерывности.

б) Теперь рассмотрим промежуток (pi/2 ; pi). Аналогично предыдущему пункту, можно показать, что функция f(x) = |cos(x)|/(x-pi/2) удовлетворяет условию равномерной непрерывности на данном промежутке.

в) Исследуем равномерную непрерывность функции f(x) = |cos(x)|/(x-pi/2) на промежутке (0 ; pi). Поскольку функция непрерывна на отдельных промежутках (0 ; pi/2) и (pi/2 ; pi), и значение в точке x = pi/2 не влияет на равномерную непрерывность, то по критерию равномерной непрерывности функция f(x) удовлетворяет данному условию на всем промежутке (0 ; pi).

Таким образом, функция f(x) = |cos(x)|/(x-pi/2) равномерно непрерывна на каждом из промежутков а), б) и в).