Решить биквадратное уравнение 36x^4-13x^2+1=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данное уравнение является биквадратным уравнением вида (ax^4 + bx^2 + c = 0), где a = 36, b = -13 и c = 1.

Чтобы решить это уравнение, давайте введем замену: пусть (y = x^2). Тогда уравнение примет вид:

[36y^2 - 13y + 1 = 0]

Для решения этого квадратного уравнения нужно воспользоваться дискриминантом. Дискриминант (D) вычисляется по формуле:

[D = b^2 - 4ac]

Подставляем значения a = 36, b = -13 и c = 1:

[D = (-13)^2 - 4361 = 169 - 144 = 25]

Теперь вычислим два возможных значения (y_1) и (y_2) с помощью формулы квадратного уравнения:

[y_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}]

[y_{1, 2} = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{72}]

[y_1 = \frac{13 + 5}{72} = \frac{18}{72} = \frac{1}{4}]

[y_2 = \frac{13 - 5}{72} = \frac{8}{72} = \frac{1}{9}]

Теперь найдем значения x, подставив обратную замену (y = x^2):

[x_1 = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}]

[x_2 = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}]

Таким образом, уравнение (36x^4 - 13x^2 + 1 = 0) имеет два решения: (x = \frac{1}{2}, x = -\frac{1}{2}, x = \frac{1}{3}, x = -\frac{1}{3}).