Y = (корень из 3x)^-1 + корень из 3x Вычислите y ' (1/3)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения производной y ' (1/3) функции Y = (корень из 3x)^-1 + корень из 3x воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.

Для начала найдем производную первого слагаемого: (корень из 3x)^-1
Для этого продифференцируем функцию f(x) = x^-1 по правилу (u^v)' = vu^(v-1) u' + ln(u) u^v v'
В нашем случае u = корень из 3x, v = -1
Поэтому производная первого слагаемого равна:
(-1) (3x)^(-1-1) (3) + ln(3x) (3x)^-1 1 = -3/(3x^2) + ln(3x) (1/3x)

Теперь найдем производную второго слагаемого: корень из 3x
Для этого продифференцируем функцию g(x) = sqrt(3x) = (3x)^(1/2)
По формуле (x^n)' = nx^(n-1)
Получим производную второго слагаемого: (1/2)(3x)^[(1/2)-1] 3 = (1/2) (3x)^(-1/2) 3 = 3/(2sqrt(3x))

Теперь суммируем две производные и подставляем x = 1/3:
y ' (1/3) = -3/(3(1/3)^2) + ln(3(1/3)) (1/(3(1/3))) + 3/(2sqrt(3(1/3)))
y ' (1/3) = -3/3 + ln(1) + 3/(2*sqrt(1))
y ' (1/3) = -1 + 0 + 3/2
y ' (1/3) = 1/2

Итак, y ' (1/3) = 1/2.