Log числа (X+2)по основанию x) -4log числа x по основанию x+2 больше или равно 0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного неравенства, начнем с логарифмических свойств:

log(x+2)x - 4log(x)(x+2) >= 0

Преобразуем логарифмы согласно правилу log(a)b = 1/log(b)a:

1/log(x+2)x - 4(1/log(x)(x+2)) >= 0

Упростим выражение:

1/(log(x+2) / log(x)) - 4/(log(x) / log(x+2)) >=
1/(log(x+2) - log(x)) - 4/(log(x) - log(x+2)) >=
1/(log((x+2)/x)) - 4/(log((x)/(x+2))) >=
1/log(1 + 2/x) - 4/log(1 + x/2) >= 0

Теперь преобразуем дроби в виде логарифмов:

log(x+2) / log(x) - 4log(x) / log(x+2) >= 0

Общий знаменатель log(x)log(x+2):

(log(x+2)^2 - 4log(x)^2) / (log(x)log(x+2)) >= 0

((log(x+2))^2 - 4(log(x))^2) / (log(x)log(x+2)) >= 0

((log(x+2) + 2log(x))(log(x+2) - 2log(x))) / (log(x)log(x+2)) >= 0

(log(x+2) + 2log(x)) / log(x) * (log(x+2) - 2log(x)) / log(x+2) >= 0

(1 + 2log(x)/(log(x+2))) * (1 - 2log(x)/(log(x))) >= 0

(1 + 2/log(1+2/x)) * (1 - 2/log(1+x/2)) >= 0

Проверим знаки каждой скобки при различных значениях x и выполним умножение:

2/log(1+2/0.5) = 2/log
1 - 2/log(1+0.5) = 1 - 2/log(5/2)

Получаем положительные значения, следовательно, в этом диапазоне неравенство выполняется.

2/log(1+2/1) = 2/log
1 - 2/log(1+1) = 1 - 2/log2

Получаем положительные значения, следовательно, при x = 1 неравенство также выполняется.

2/log(1+2/2) = 2/log
1 - 2/log(1+2) = 1 - 2/log3

Получаем положительные значения, следовательно, в этом диапазоне неравенство также выполняется.

Таким образом, неравенство log(x+2)x - 4log(x)(x+2) >= 0 выполняется при x > 0.