Для того чтобы доказать, что число 5³ + 35⁴ + 25⁵ (также можно записать как 5³(1 + 35 + 25²)) кратно 66, нужно показать, что данное число делится на 66 без остатка.

Перейдем к факторизации данного выражения:
5³(1 + 35 + 25²) = 5³(1 + 15 + 50) = 5³ * 66

Так как данное выражение является произведением числа 5³ и числа 66, то оно делится на 66 без остатка.

Таким образом, число 5³ + 35⁴ + 25⁵ действительно кратно 66.