Тема: Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии. Из пункта A выехал грузовой автомобиль и двигался со скоростью 40 км/ч. Одновременно в том же направлении из пункта В отправился легковой автомобиль, который в первый час прошёл 50 км, а в каждый следующий проходил на 5 км больше, чем в предыдущий. Через сколько часов легковой автомобиль догонит грузовой, если известно, что расстояние от пункта B до пункта А равно 135?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте найдем уравнение для задачи.

Пусть легковой автомобиль прошел n часов. Тогда расстояние, которое он прошел за n часов, будет равно сумме n первых членов арифметической прогрессии с первым членом 50 км и разностью 5 км.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии:
S(n) = n * (a1 + an) / 2,
где a1 - первый член прогрессии, an - n-ый член прогрессии.

Таким образом, расстояние, которое прошел легковой автомобиль за n часов:
50 + (50 + 5) + (50 + 2 5) + ... + (50 + (n-1) 5) = n (50 + (50 + (n-1) 5)) / 2 = n (50 + 50 + 5n - 5) / 2 = n (100 + 5n) / 2.

Теперь найдем время, за которое легковой автомобиль догонит грузовой. Пусть время, за которое это произойдет, равно t часов. Тогда расстояние, которое прошел грузовой автомобиль за t часов, равно 40t км.

Из условия задачи мы знаем, что расстояние от пункта B до пункта A равно 135 км. Таким образом, уравнение для задачи:
40t = n (100 + 5n) / 2,
или
80t = n (100 + 5n).

Теперь подставим в уравнение данные из условия задачи:
135 = 40t.

Отсюда найдем t = 3,375.

Таким образом, легковой автомобиль догонит грузовой через 3 часа и 22,5 минуты.