Докажите, что при любых значениях a,b, и c многочлен: a²+4b²-4ab-10a+20b+26 принимает положительные значения

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы доказать, что многочлен (a^2 + 4b^2 - 4ab - 10a + 20b + 26) принимает только положительные значения для любых (a), (b) и (c), можно воспользоваться методом полного квадрата.

Рассмотрим данное выражение как квадратный трехчлен от (a) и (b): ((a - 2b)^2 + 20b - 4b^2 + 26)

Квадрат ((a - 2b)^2) всегда неотрицателен, поэтому можно добавить к исходному выражению только положительное число. Добавим (20b - 4b^2 + 26).

Теперь рассмотрим оставшееся выражение: (20b - 4b^2 + 26)

Это выражение представляет собой параболу, которая будет направлена вниз, так как коэффициент при квадрате отрицательный.

Таким образом, данное выражение будет принимать положительные значения для всех (b), так как при этом выражение будет иметь максимальное значение в вершине параболы (так как коэффициент при (b^2) отрицателен), а это значение будет равно 26, что является положительным числом.

Таким образом, при любых значениях (a), (b) и (c) многочлен (a^2 + 4b^2 - 4ab - 10a + 20b + 26) примет положительные значения.