Для того чтобы доказать данное тождество, мы можем воспользоваться следующими шагами:

Рассмотрим выражение (a^3b^3-1)^3 = a^9b^9 - 3a^6b^6 + 3a^3b^3 - 1

Теперь рассмотрим выражение (1+a^3b^3)^3 = 1 + 3a^3b^3 + 3a^6b^6 + a^9b^9

Подставляем данные результаты в исходное тождество
(a^9b^9 - 3a^6b^6 + 3a^3b^3 - 1) - (1 + 3a^3b^3 + 3a^6b^6 + a^9b^9) + 6a^6b^6
= a^9b^9 - 3a^6b^6 + 3a^3b^3 - 1 - 1 - 3a^3b^3 - 3a^6b^6 - a^9b^9 + 6a^6b^6
= 6a^6b^6 - 6a^6b^6 - a^9b^9 + a^9b^9 - 3a^6b^6 + 3a^6b^6
= -2

Таким образом, доказано исходное тождество.