Докажите что в любом выпуклом четырехугольнике сумма расстояний от точки взятой внутри четырехугольника, до его вершин больше полупериметра.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Рассмотрим выпуклый четырехугольник ABCD и точку P взятую внутри него. Обозначим расстояния от точки P до вершин четырехугольника как AP, BP, CP и DP. Проведем отрезки AP, BP, CP и DP до вершин четырехугольника.

Теперь заметим, что каждый из треугольников ABP, BCP, CDP и DAP находится внутри четырехугольника ABCD, значит, сумма длин этих четырех отрезков больше периметра каждого из этих треугольников.

Итак, сумма всех четырех отрезков больше суммы периметров треугольников ABP, BCP, CDP и DAP. Но сумма периметров этих треугольников равна полупериметру четырехугольника, так как каждый из периметров треугольников входит дважды, а полупериметр считается один раз.

Следовательно, сумма расстояний от точки P до вершин четырехугольника превышает полупериметр четырехугольника. Что и требовалось доказать.