Докажите, что если x>0, y>0 и z>0, то ((x^2)/y)+((y^2)/z)>=4*(x-z)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала раскроем скобки в выражении 4*(x-z):

4*(x-z) = 4x - 4z

Теперь докажем данное неравенство: ((x^2)/y) + ((y^2)/z) >= 4x - 4z

((x^2)/y) + ((y^2)/z) = x(x/y) + y(y/z) = x/x x/y + y/y y/z = x/yx + y/zy = x^2/y + y^2/z

Подставляем в выражение выражение для 4*(x-z):

x^2/y + y^2/z >= 4x - 4z

Переносим все члены в левую часть:

x^2/y + y^2/z - 4x + 4z >= 0

Домножим выражение на yz, чтобы избавиться от знаменателей:

zx^2 + yy^2 - 4xyz + 4yz^2 >= 0

Раскрываем скобки:

zx^2 + y^3 - 4xyz + 4yz^2 >= 0

Делаем замену переменных: a = x/z, b = y/x

Получаем:

za^2 + b^3 - 4ab + 4b >= 0

Применим неравенство о среднем значении для a и b:

(a + b + b + b)/4 >= (4ab)^1/4 = (4b)^1/4

a + 3b >= 4 * (4b)^1/4

Подставляем обратно значения a и b:

x/z + 3y/x >= 4 * (4y/x)^1/4

x^2/z + 3y^2/x >= 4 * (4y^2/x)^1/4

x^2/z + y^2/z + y^2/z + y^2/z >= 4x - 4z

x^2/y + y^2/z >= 4x - 4z

Таким образом, доказано исходное неравенство.