Как ведет себя функция (x^(2) + 1)/(x^(2) + x)? убывает или возрастает?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для исследования функции (x^2 + 1)/(x^2 + x) на возрастание или убывание, нужно найти производную этой функции.

Для этого сначала выразим функцию в виде (x^2 + 1)/(x(x + 1)), затем возьмем производную:
f'(x) = [(2x)(x(x + 1) - (x^2 + 1)(x + 1))/(x^2 + x)^2]
f'(x) = [(2x^2 + 2x - x^3 - x - x^2 - 1)/(x^2 + x)^2]
f'(x) = [(-x^3 + x - 1)/(x^2 + x)^2]

Приравниваем производную к нулю, чтобы найти точки экстремума:
-x^3 + x - 1 = 0

Данное уравнение не имеет решений на множестве вещественных чисел, что означает, что у функции (x^2 + 1)/(x^2 + x) нет экстремумов.

Следовательно, функция (x^2 + 1)/(x^2 + x) не убывает и не возрастает на всей области определения.