Для нахождения производной функции f(x) = e^(2x) * ln(x^2) сначала нужно применить правило производной произведения функций (производная произведения равна произведению производной):

f(x) = e^(2x) * ln(x^2)

f'(x) = (e^(2x) d/dx(ln(x^2))) + (ln(x^2) d/dx(e^(2x)))

Первое слагаемое:
(e^(2x) d/dx(ln(x^2))) = e^(2x) (2/x)

Второе слагаемое:
(ln(x^2) d/dx(e^(2x))) = ln(x^2) (2e^(2x))

Итак, производная функции f(x) будет:

f'(x) = e^(2x) (2/x) + ln(x^2) (2e^(2x))

Теперь найдем f'(1) - значение производной в точке x = 1:

f'(1) = e^2 (2/1) + ln(1) 2e^2
f'(1) = 2e^2 * 2 + 0
f'(1) = 4e^2

Итак, f'(1) = 4e^2.