Докажите тождество: sin2a + cos2a*ctga = ctga

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного тождества воспользуемся свойствами тригонометрических функций.

Известно, что ctg(a) = 1/tg(a) = cos(a)/sin(a)

Выразим ctg(a) через sin(a) и cos(a):
ctg(a) = cos(a)/sin(a)

Умножим обе части уравнения на sin(a):
sin(a)*ctg(a) = cos(a)

Теперь выразим sin(2a) через sin(a) и cos(a) и подставим в данное выражение:
sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

sin(2a) + cos(2a)ctg(a) = 2sin(a)cos(a) + cos(2a)(cos(a)/sin(a))

Учитывая, что cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a) и sin^2(a) + cos^2(a) = 1, получаем:
2sin(a)cos(a) + cos(2a)*(cos(a)/sin(a)) = 2sin(a)cos(a) + (cos^2(a) - sin^2(a))(cos(a)/sin(a))

Далее раскрываем скобки и упрощаем выражение:
2sin(a)cos(a) + (cos^2(a) - sin^2(a))(cos(a)/sin(a)) = 2sin(a)cos(a) + (cos^3(a)/sin(a) - sin^3(a)/sin(a))

Далее объединяем слагаемые:
2sin(a)cos(a) + cos^3(a)/sin(a) - sin^3(a)/sin(a) = 2sin(a)cos(a) + (cos^3(a) - sin^3(a))/sin(a)

Учитывая, что cos^3(a) - sin^3(a) = (cos(a) - sin(a))(cos^2(a) + cos(a)sin(a) + sin^2(a)) и cos^2(a) + sin^2(a) = 1:
2sin(a)cos(a) + (cos^3(a) - sin^3(a))/sin(a) = 2sin(a)cos(a) + (cos(a) - sin(a))/sin(a) = 2sin(a)cos(a) + cos(a)/sin(a) - sin(a)/sin(a)

Подставляем значения ctg(a) и тождество подтверждается:

sin(2a) + cos(2a)*ctg(a) = 2sin(a)cos(a) + cos(a)/sin(a) - 1 = cos(a) + 1 - 1 = cos(a) = ctg(a)

Тождество доказано.