Докажите, что любой прямоугольник с периметром 32см меньше по площади, чем квадрат с таким же периметром.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть стороны прямоугольника равны a и b, тогда периметр равен 2a + 2b = 32 см. Так как периметр квадрата равен 4s, где s - длина стороны, то для квадрата с таким же периметром сторона будет равна s = 32 / 4 = 8 см.

Теперь найдем площадь прямоугольника: S = a * b

И площадь квадрата: S' = s^2 = 8^2 = 64 см^2

Теперь нужно доказать, что S < S', то есть a * b < 64

Заметим, что по неравенству арифметическое-геометрическое среднее, AM-GM
(a + b)/2 >= sqrt(ab)

Тогда (a + b)/2 >= sqrt(ab
=> 32/2 >= sqrt(ab
=> 16 >= sqrt(ab
=> 16^2 >= a
=> 256 >= ab

Таким образом, площадь прямоугольника ab < 256, что меньше 64 - площади квадрата со стороной 8см.

Следовательно, любой прямоугольник с периметром 32см меньше по площади, чем квадрат с таким же периметром.