Дано: MN||AC. AO и CO-бисиктриссы. Доказать: MN=AM+CN

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Так как AO и CO - биссектрисы, то они делят угол MAC на два равных угла. Пусть угол OAM равен углу MAC и угол OCN равен углу NCA.

Так как MN || AC, то по свойству параллельности углы MAC и NCA равны.

Тогда угол OAM = угол OCN и угол OMA = угол OCN (так как смежные к ним углы равны, так как AO и CO - биссектрисы).

Теперь по теореме синусов в треугольнике OAM: AM/sin OAM = OM/sin OMA
Аналогично для треугольника OCN: CN/sin OCN = ON/sin OCN

Так как OM=ON (так как это расстояние между параллельными прямыми, то они равны), то получаем:
AM/sin OAM = CN/sin OCN

Из этого равенства следует, что AM/sin OAM = CN/sin OCN = MN/sin MOA

По теореме синусов в треугольнике DEC (где DE = MN, DC = AM, EC = CN):
MN/sin OAM = AM/sin MOA + CN/sin NCA

Отсюда получаем: MN = AM + CN

Что и требовалось доказать.