На доске написали 10 натуральных чисел. Если отметить любые три из написанных чисел, то сумма всех трёх будет делиться на два числа из этой тройки. Докажите, что среди написанных чисел есть равные.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть на доске написаны числа a1, a2, ..., a10.

Так как сумма любых трех чисел должна делиться на два из них, можем выразить это равенством:

a_i + a_j = 2 * a_k, где i, j, k - различные числа от 1 до 10.

Рассмотрим все возможные комбинации троек:

a1 + a2 = 2 a3,
a1 + a3 = 2 a2,
a1 + a4 = 2 a5,
...
a8 + a9 = 2 a10.

Рассмотрим первое равенство, а1 + a2 = 2 * a3. Так как равенства симметричны, можем допустить, что первое и второе равенства равны:

a1 + a2 = 2 a3,
a2 + a1 = 2 a3.

Сложим эти два равенства:

2 (a1 + a2) = 4 a3,
a1 + a2 = 2 * a3.

То есть, a1 + a2 = 2 * (a1 + a2), откуда получаем, что a1 = a2.

Таким образом, мы доказали, что среди написанных чисел найдутся равные.