Изобразите на комплексной плоскости кубический корень из 125i

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения кубического корня из 125i сначала найдем модуль числа 125i:

|125i| = √(125^2) = √15625 = 125

Теперь найдем аргумент числа 125i:

arg(125i) = arctg(125/0) = arctg(∞) = π/2

Теперь можем записать 125i в тригонометрической форме:

125i = 125(cos(π/2) + i*sin(π/2))

Теперь найдем кубический корень из 125i:

∛125i = √125(cos((π/2 + 2πk)/3) + i*sin((π/2 + 2πk)/3)), где k = 0, 1, 2

Таким образом, имеем три корня:

∛125i = 5(cos(π/6) + isin(π/6)) = 5(cos(30°) + isin(30°)) = 5(√3/2 + i/2) = 5√3/2 + 5i/2

∛125i = 5(cos(π/2 + 2π/3) + isin(π/2 + 2π/3)) = 5(cos(150°) + isin(150°)) = 5(-√3/2 + i/2) = -5√3/2 + 5i/2

∛125i = 5(cos(π/2 + 4π/3) + isin(π/2 + 4π/3)) = 5(cos(270°) + isin(270°)) = 5(0 - i) = -5i

Таким образом, на комплексной плоскости кубический корень из 125i будет расположен в точках (5√3/2, 5/2), (-5√3/2, 5/2) и (0, -5).