В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания AB равна 6, а боковое ребро AA1 равно 2 √2 . На рёбрах AB, A1B1 и B1C1 отмечены точки M , N и K соответственно, причём AM = B1N = C1K = 2 . а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром AC . Докажите, что MNKL — квадрат. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Для начала заметим, что треугольники AAM и AB1N подобны, так как имеют угол и общий катет в соответственных треугольниках. Это означает, что соответственные стороны этих треугольников пропорциональны: AM/AB = B1N/AA1 = 2/(6+2√2) = 2/(2(3+√2)) = 1/(3+√2) = √2 - 1.
Таким образом, AM = √2 - 1 AB = √2 - 1 6 = 6√2 - 6. Но по условию AM = 2, откуда получаем 6√2 - 6 = 2, что дает √2 = 2, что невозможно, значит предположение о необходимом свойстве квадрата не выполняется.

б) Так как призма правильная треугольная, то сечение плоскостью MNK будет также правильным треугольником. Обозначим его сторону через x. Тогда MN = NK = MK = x.
Сравнивая треугольники AMN и AMC1, получаем, что MN/AM = MC1/AC. Из подобия треугольников AB1N и B1C1K => BN/B1K = C1K/C1B1. По этим равенствам:
x/(3 + √2) = (6 - √2)/(6 + 2√2) => x = 36 - 12√2.
Площадь треугольника MNK равна S = (x^2 * √3) / 4 = (1152 - 288√2)√3 / 4 = (288√3 - 216)кв.ед.